14 maart 2015 was een bijzondere pi-dag. Volgens de Amerikaanse notatie benaderde het exacte tijdstip 3/14/15 om 9u26’53” pi tot 9 cijfers na de komma. Op die bewuste zaterdag vierden we de wiskunde aan de VUB met een taart van 3,14 meter lang, een skypegesprek met Ingrid Daubechies en we hielden de hele dag lang een levensgroot experiment. In het experiment van Buffon kan je de waarde van pi benaderen door willekeurig naalden op een lijnenveld te werpen. Na 695 worpen, hadden wij pi tot twee cijfers na de komma bereikt. Als we daarna nog verder geworpen hadden, zou onze benadering nog nauwkeuriger geworden zijn.

Een stukje wiskundegeschiedenis

Reeds in $$400$$ v.Chr. stelde de Griek Hippocrates vast dat de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkelschijf en het kwadraat van de straal steeds dezelfde blijft. In wiskundige termen heet dat een constante. Als we dus de straal van een cirkel met $$r$$ noteren en de oppervlakte ervan met $$A_r$$, krijgen we dat de breuk $$A_r/r^2$$ een constante is, hoe groot of hoe klein de straal $$r>0$$ ook moge zijn. We noteren die constante $$pi_1$$.

Niemand minder dan de beroemde Euclides bewees in $$300$$ voor onze jaartelling dat ook de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter constant is. We krijgen dus een tweede constante $$pi_2$$ die voldoet aan $$pi_2=frac{L_r}{2r}$$, voor elke straal $$r>0$$. Hierbij staat $$L_r$$ voor de omtrek van een cirkel met straal $$r$$.

In $$230$$ v.Chr. bewees Archimedes op ingenieuze wijze dat deze twee constanten in werkelijkheid dezelfde zijn: $$pi_1=pi_2$$.

Sinds 1706 noteren we deze constante met de Griekse letter $$pi$$, de eerste letter van het woord $$piepsilonrhoiotamuepsilontaurho onu$$, Grieks voor omtrek. De wiskundige Euler maakte deze notatie populair door ze veelvuldig te gebruiken. Hij toonde dat $$pi$$ op heel veel plaatsen van de wiskunde (soms onverwacht) opduikt en bewees onder andere dat

$$1+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+frac{1}{4^2}cdots =1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+frac{1}{16}+cdots = frac{pi^2}{6}.$$

 Er is steeds veel interesse geweest voor het berekenen van zoveel mogelijk decimalen van het getal $$pi$$. In het begin gewoon om deze constante beter te leren kennen en te onderzoeken. Later ook om computers te testen.

Ludolph van Ceulen berekende in $$1596$$ twintig decimalen van $$pi$$.

Kondo en Yee berekenden in $$2013$$ (gedurende 94 dagen) twaalfduizend miljard decimalen van $$pi$$. Dit is het huidige wereldrecord. Het wegschrijven van deze benadering van $$pi$$ neemt om en bij de $$9.2$$ TByte in beslag.

Voor het benaderen van de waarde van $$pi$$ zijn er in de loop van de geschiedenis vele methoden bedacht. Wij belichten hier een methode die aanleiding geeft tot het experiment van Buffon dat we op $$pi$$-dag 2015 levensgroot uitvoerden.

Het naaldenexperiment van Buffon

In 1777 bedacht de Fransman Georges Louis Leclerc, bijgenaamd Comte de Buffon, volgende proef.

Teken op een blad papier evenwijdige lijnen op gelijke afstand van mekaar. Neem dan een naald waarvan de lengte juist de helft is van de afstand tussen de lijnen en laat die willekeurig op het blad vallen. Dan kan de naald snijdend zijn met een lijn van het blad of niet. Als je deze proef nu vele malen herhaalt en de verhouding bijhoudt tussen het aantal keer dat je de naald hebt geworpen en het aantal keer dat ze op een lijn is beland, gaat deze verhouding een benadering van $$pi$$ zijn. Op de website van Frank Deboosere kan je een simulatie van het experiment laten lopen, waarmee je live kan volgen hoe de verhouding dichter en dichter in de buurt komt van $$pi$$.

naaldenexperiment

Het naaldenexperiment van Buffon.

 

Hoe meer je de proef herhaalt, hoe beter die benadering. Wiskundigen zeggen dat de verhouding in kwestie convergeert naar $$pi$$. Nog anders zegt men dat de verhouding “in de limiet” $$pi$$ wordt.

De bedoeling van dit artikel is om wiskundig te bewijzen dat Buffon gelijk had. Meer precies zullen we volgende stelling aantonen.

Buffon_1707-1788

Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon (1753)

Stelling 1: Indien een naald van lengte $$ell$$ valt op een gelijnd blad papier, waarbij alle lijnen evenwijdig zijn en op afstand $$d>ell$$ van elkaar liggen, is de kans dat de naald een van de lijnen snijdt juist gelijk aan

$$ p=frac{2}{pi}cdotfrac{ell}{d}.$$

Als we, zoals in de proef hierboven, $$ell$$ gelijkstellen aan $$d/2$$ krijgen we inderdaad dat $$p$$ exact gelijk is aan $$1/pi$$ zodat $$pi=1/p$$.

In de stelling ontmoeten we het woord kans. Om het experiment van Buffon helemaal te begrijpen, loont het de moeite om dit wiskundig verder uit te diepen. Klik op de knop hieronder om dieper de wiskunde in te duiken.

De stelling van Buffon uitgediept

Het experiment op $$pi$$-dag 2015

scorebordTV_klein

De eindstand op de teller van het Buffon experiment

Uit de stelling van Buffon halen we dat

$$ pi = frac{2}{p_1(ell)}cdotfrac{ell}{d}.$$

In onze proef bedroeg de afstand $$d$$ tussen de lijnen $$1$$ meter en hadden de naalden een lengte $$ell = 0,5$$ meter. Er werd in totaal $$N=695$$ keer een naald gegooid en in $$P=221$$ van de gevallen kwam de naald op een van de lijnen terecht.

Dit geeft $$p_1(ell)approxfrac{P}{N}=frac{221}{695}$$ en we krijgen dus

$$ pi = 2frac{N}{P}cdotfrac{0.5}{1}=frac{N}{P}=3,14479638009.$$

 

De grafiek toont de evolutie van de benadering van $$pi$$ tijdens ons experiment.

naaldexperiment2

Convergentie van de benadering naar $$pi$$.

 

 

Betere benaderingen

We hebben bewezen dat de verhouding tussen het totaal aantal worpen en het aantal worpen dat op een lijn terecht komt bij ons experiment nadert naar de waarde van $$pi$$. Het duurt echter zeer lang vooraleer je bijvoorbeeld $$10$$ decimalen van $$pi$$ correct hebt.

 

Er zijn dus betere methodes nodig indien je snel veel decimalen van $$pi$$ wil berekenen. We geven hier twee formules die veel gebruikt worden.

 

  • Chudnovsky (1989):

$$frac{1}{pi}=12sum_{k=0}^{+infty}frac{(-1)^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^3640320^{3k+3/2}}$$

  • Bailey, Borwein en Plouffe (1997):

$$pi=sum_{k=0}^{+infty}frac{1}{16^{k}}bigg(frac{4}{8k+1}-frac{2}{8k+4}-frac{1}{8k+5}-frac{1}{8k+6}bigg)$$

Bij elke stap van dit algoritme krijg je $$8$$ (correcte) cijfers extra na de komma!

Deze formule werd gebruikt door Kondo en Yee (2013) toen ze de eerste $$1,2times 10^{13}$$ decimalen van $$pi$$ berekenden.

Om deze blogpost niet te lang te maken, knipten we hem in twee delen. Als je meer wil lezen over hoe de stelling van Buffon precies in elkaar zit, kan je terecht in het volledige artikel.

De stelling van Buffon uitgediept