Het is ondertussen een constante geworden: nu zaterdag 14/03/2015 (of op z’n Amerikaans 3/14/’15) is het opnieuw tijd voor de jaarlijkse π -dag. De Wtnschp-redactie viert dat graag groots, daarom trakteren wij samen met de Wiskunde opleiding alle bezoekers van de VUB-infodag op 14 maart op een levensgroot wiskunde experiment én een stukje π! Wiskunde professor en π -enthousiast, Philippe Cara legt het ons nog even allemaal uit.
Korte geschiedenis van π
Reeds in 400 v. Chr. stelde de Griek Hippocrates vast dat de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkelschijf en het kwadraat van de straal van die schijf niet afhangt van de grootte van de schijf. Als we dus de straal van een cirkel met r noteren en de oppervlakte ervan met A_r, krijgen we dat de breuk A_r/r^2 een constante is, hoe groot of hoe klein de straal r > 0 ook moge zijn. We noteren die constante π_1.
Niemand minder dan de beroemde Euclides bewees in 300 voor onze jaartelling dat ook de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter constant is. We krijgen dus een tweede constante π_2 die voldoet aan π_2 = L_r/2r, voor elke straal r > 0. Hierbij staat L_r voor de omtrek van een cirkel met straal r.
In 230 v. Chr. bewijst Archimedes op ingenieuze wijze dat deze twee constanten in werkelijkheid
dezelfde zijn: π_1 = π_2.
Sinds 1706 noteren we deze constante met de Griekse letter π, de eerste letter van het woord περιμετρον, Grieks voor omtrek. De wiskundige Euler maakte deze notatie populair door ze veelvuldig te gebruiken. Hij toonde dat π op heel veel plaatsen van de wiskunde (soms onverwacht) opduikt en bewees onder andere dat:
Ludolph van Ceulen berekende in 1596 twintig decimalen van π. Kondo en Yee berekenden in 2013 (op 94 dagen tijd) twaalfduizend miljard decimalen van p. Dit is het huidige wereldrecord. Het wegschrijven van deze benadering van p neemt om en bij de 9.2 TByte in beslag.
Soorten getallen
In 1882 bewees Lindemann dat π transcendent is, iets wat Euler reeds 100 jaar eerder vermoedde maar niet kon aantonen.
Er werd ook bewezen dat de overgrote meerderheid van de reële getallen transcendent is.
Normale getallen
In 1909 definieerde de Franse wiskundige Emile Borel normale getallen. We leggen eerst uit wat normaal in basis 10 betekent. Dit zijn reële getallen waarvan de decimale ontwikkeling elk cijfer evenveel bevat, elk getal van 2 cijfers evenveel bevat, elk getal van 3 cijfers evenveel bevat, . . . Dit kunnen dus zeker geen rationale getallen zijn. Het lijkt zeer moeilijk om zulke getallen te maken omdat er oneindig veel voorwaarden moeten voldaan zijn.
Een reëel getal hoeft natuurlijk niet steeds in basis 10 geschreven te worden. Je kan het ook binair (=in basis 2), hexadecimaal (=in basis 16), . . . uitschrijven. Een getal heet normaal indien het in elke basis t > 1 normaal is. Dit betekent dat in de ontwikkeling in basis t, elk cijfer (of symbool) even vaak voorkomt, alsook elke combinatie van 2 symbolen, alsook elke combinatie van 3 symbolen, . . .
Borel bewees dat de niet-normale reële getallen maat nul hebben. Dit betekent dat bijna alle reële getallen normaal zijn. Het is trouwens daarom dat hij de naam normaal koos.
Het begrip normaal getal is nu meer dan 100 jaar oud en we weten dat bijna alle getallen normaal zijn. Desalniettemin is tot nu toe van geen enkel reëel getal expliciet geweten of bewezen dat het normaal is.
Het getal π is een van de getallen waarvan we het meeste decimalen kennen en lijkt dus het getal bij uitstek om van na te gaan dat het normaal is. Doordat we hier een oneindigheid (in het kwadraat) van voorwaarden moeten nagaan, geven deze decimalen jammer genoeg maar een zeer beperkte informatie. Men vermoedt dat π een normaal getal is maar een bewijs lijkt ver buiten het bereik van de hedendaagse wiskunde. Er is dus nog heel wat werk aan de winkel voor wiskundigen van nu en van morgen.
