Dit is het verhaal over de ‘gulden snede’: een wiskundige verhouding die als heel harmonieus wordt ervaren wanneer het aangewend wordt in architectuur en kunst. De estheten uit de Oudheid pasten dit idee al toe nog voor het wiskundig uit de doeken werd gedaan. In dit verhaal ontmoeten wiskunde en esthetiek elkaar als vrienden. Voor de ene is wiskunde eenvoudig en voor de andere esthetiek vanzelfsprekend. We proberen om beide vormen van poëzie samen tot leven te brengen.
De Gulden Snede voor een lijnstuk
Figuur (1) toont de gulden snede van een lijnstuk met lengte 1. Je verdeelt dit in twee delen a en b. Laat a het lange deel zijn en b het korte. De gulden snede vraagt dat de lengte van het lange deel (a) gedeeld door het korte deel (b) hetzelfde is als de lengte van het volledige lijnstuk (a+b) gedeeld door het lange deel (a). Die verhouding is het gulden getal φ (phi):


Figuur 1: de gulden snede op een lijnstuk met lengte a+b=1
We nemen de totale lengte (a + b) = 1. De vergelijking boven Figuur (1) kan dan geschreven worden als:
De positieve oplossing hiervoor is:
Het lange deel (a) bedraagt dus een kleine 62% van de totale lengte van het lijnstuk. En omdat b = 1 – a, geldt ook:
Dat wil zeggen dat het korte deel (b) een dikke 38% van de totale lengte van het lijnstuk bedraagt. Met deze uitkomsten rekenen we met relatie (1) het gulden getal (phi: φ) uit:
Merk op dat het getal 1,618, precies maar dan ook precies één eenheid groter is dan 0,618. Voor iemand die van getallen houdt is dit toch wel heel mooi.
DE RIJ EN HET GETAL VAN FIBONACCI
De wiskundige Leonardo van Pisa leefde van ca. 1170 tot ca. 1250. Hij staat ook welbekend als Fibonacci. Hij publiceerde een rij getallen waarin we op subtiele wijze het gulden getal φ terugvinden. In de rij van Fibonacci geldt volgende regel:
Elk getal is dus gelijk aan de som van de twee voorgaande getallen. Beginnen we met de getallen 0 en 1, dan bekomen we de de rij van Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …
Als je twee opeenvolgende leden van de rij door elkaar deelt, dan komt het resultaat steeds dichter en dichter in de buurt van het gulden getal φ. Dit wordt getoond in Tabel (1).
Tabel 1: De getallen in de rij van Fibonacci staan in vetjes op de oneven rijen. De quotiënten van twee opeenvolgende getallen uit de rij staan in de even rijen eronder. Het verschil tussen het gulden getal φ en de getallen op de evenrijen wordt snel piepklein.
DE GULDEN SNEDE VAN EEN RECHTHOEK
Hier maken we gebruik van het feit dat de verhoudingen van de getallen in de rij van Fibonacci (zie Tabel 1) het gulden getal dicht benaderen. Neem bijvoorbeeld een rechthoek met lange zijde gelijk aan a + b = 8 + 5 = 13 en korte zijde gelijk aan a = 8.
Om die rechthoek op een gulden wijze te versnijden moeten getallen zoals 8 en 13 twee opeenvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci. De gulden snede verdeelt in Figuur (2) de rechthoek (13 X 8) in een blauw vierkant (8 X 8) en een gele rechthoek (8 X 5). Het vierkant heeft twee gelijke zijden waarvan de lengtes geen twee opvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci. Het vierkant komt dus niet in aanmerking voor een volgende gulden verdeling.

Figuur 2: de eerste stap in de gulden snede van een rechthoek. De grootheden a en b moeten twee opeenvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci.
De kleinere rechthoek heeft zijden met lengtes die wel twee opeenvolgende getallen zijn in de rij van Fibonacci. De gele rechthoek kan dus verder versneden worden met de gulden snede. De rechthoek (8 X 5) wordt nu opgedeeld in een vierkant (5X5) en een rechthoek (5 X 3). Het vierkant (5 x 5) kan niet opgedeeld worden door een gulden snede. De cijfers zijn geen twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci maar de rechthoek (3 X 5) kan dat wel. Enzovoort, tot we eindigen met twee vierkanten (1×1): ook twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Dit alles wordt geïllustreerd in Figuur (3)

Figuur 3: Een rechthoek met zijden gelijk aan twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci (13×8) wordt op gulden wijze opgedeeld in 6 vierkanten die zes opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci als lengte van hun zijde hebben.
DE GULDEN SPIRAAL VAN FIBONACCI
Neem, bijvoorbeeld, een rechthoek met lange zijde gelijk aan 89 en korte zijde gelijk aan 55. Twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Die rechthoek kan op een gulden wijze opgedeeld worden in 10 vierkanten met respectieve lengtes van hun zijden gelijk aan 55, 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1 en 1. Dit wordt getoond in Figuur (4) hieronder.
Trek nu van A naar B een kwart-cirkelomtrek met straal 55. Loop vloeiend verder van B naar C langs een kwart-cirkelomtrek met straal gelijk aan 34. Ga zo verder met kwart-cirkelomtrekken met opeenvolgende stralen gelijk aan 21, 13, 8, 5, 3, 2 en tweemaal 1. Omdat de laatste twee kwartcirkels dezelfde straal hebben en vloeiend in elkaar overlopen is het laatste onderdeel van de constructie een halve cirkelomtrek met straal gelijk aan 1. De aldus gemaakte constructie is de Spiraal of het Slakkenhuis van Fibonacci.

Figuur 4: De Spiraal of het Slakkenhuis van Fibonacci.
VOORBEELDEN
Zoals eerder vermeld, wordt het concept van de gulden snede al eeuwenlang gebruikt door kunstenaars en architecten, nog voor het wiskundig werd vastgelegd. Er wordt zelfs beweerd dat de Oude Egyptenaren het principe hebben gebruikt bij de bouw van hun piramides. We concluderen dan ook graag: wie zoekt, die vindt. de gulden snede is echt overal ter wereld terug te vinden. Hieronder vind je enkele voorbeelden.